גדי טאוב

(המשך מחלק א')

כשרוג'ר פנרוז היה בן עשרים ושבע – זה היה בסוף שנות החמישים – הוא ביקר בתערוכה של אשר שהוצגה במסגרת כנס של מתמטיקאים. הפרדוקסים הגאומטריים של הצייר ההולנדי הלהיבו את המתמטיקאי הצעיר. בשובו מן הכנס הוא השתעשע בכמה רעיונות כאלה ושירטט את הדבר הזה:

הוא הראה את הצורה הבלתי אפשרית הזאת לאביו, והדברים ריתקו גם את פנרוז האב. הבן והאב – רופא וחוקר גנטיקה במקצועו – התעמקו בטעויות הפרספקטיבה האלה וכתבו ביחד מאמר על טבען. "פרסמנו אותו בכתב עת לפסיכולוגיה," פנרוז אומר, "לא כי זה קשור, אלא בגלל שזה היה אפשרי. אבא שלי הכיר מישהו בכתב העת הזה." הפיתוח המתמטי במאמר הפך לימים לאחד הציורים המפורסמים ביותר של אשר: שני תורי הנזירים הסובבים במעגל של מדרגות, מעגל סגור שכולו עליה, או כולו ירידה, תלוי איזה תור נזירים את בוחר. אשר נתן להם קרדיט.

לא רק אביו של פנרוז עסק ברפואה, גם אימו היתה רופאה, וזה המסלול שהם יעדו גם לרוג'ר הצעיר. עד התיכון היה ברור ומובן גם לו שזה הנתיב המקצועי שבו יבחר. אלא שבהדרגה גבר הכשרון המתמטי שהתגלה בכל שלושת האחים לבית פנרוז. אחד מהשניים האחרים גם הוא מתמטיקאי, והשלישי, ג'ונתן פנרוז, הוא אמנם פסיכולוג, אבל גם מגדולי אלופי השח שידעה בריטניה מעודה.
חיבתו של פנרוז לאשר נמשכת עד היום. הוא משתמש בציורים האלה להדגים בעיות שהוא כותב עליהן, או הפשטות מתמטיות שבלי המחשה גראפית קשה להעלות אותן בדימיון. אחת מהבעיות שפנרוז התפרסם בזכותן היתה שאלה שמזכירה את הציורים האלה: בעיית הריצוף (tiling). לחידושים שלו בתחום הזה, מתברר, היו השלכות מרחיקות לכת מכל מיני סוגים. אחת, למשל, נוגעת לשאלת ההכרה, ואחרת, להפתעתו הרבה, נוגעת למחלוקת שהתגלתה בינו לבין חברת "קלינס" סביב נייר טואלט (ר' מסגרת למטה).
כדי להבין את שניהם צריך לומר משהו על האתגר המתמטי שמאחורי הסוגיה. הבעיה היא זו: כמה צורות שונות נדרשות כדי לרצף מישור אין סופי, כך שלא יהיו ביניהן לא רווחים ולא חפיפות, ומבלי שהתבנית שבה הן מסודרות תחזור על עצמה אי-פעם. מתמטיקאים כבר הראו שהדבר אפשרי, עם מספר גדול של מאד של צורות שונות. אלפים רבים של צורות, למעשה. אחר כך הראו אחרים (פנרוז היה אחד מהם) שיש אפשרות לרצף מישור בשש צורות שונות בלבד מבלי לחזור על תבנית. "ידעתי" אומר פנרוז, "שאני יכול לשפר את התוצאה הזאת מפני שבדגם שלי אפשר להדביק שתיים מהצורות זו לזו מבלי לפגוע באי-החזרה. כך שהיו לי חמש צורות."
אבל ההישג החשוב יותר בא כשפנרוז הצליח למצוא פתרון שאיש לא חשב שהוא אפשרי: שתי צורות. עם שתי הצורות שעיצב אפשר לכסות מישור עד אין סוף בלי לחזור על הדגם אי-פעם. נתיב אחד הוביל מכאן לחקר ההכרה: ישנם מודלים של ריצוף ללא תבנית שניתן להוכיח ששום אלגוריטם של מחשב לא יוכל לפצח אותם. וזו אחת הדרכים אל ההבדלים בין תובנה לחישוב.

פנרוז הוא איש ביישן וצנוע למדי, ומפתה לזקוף גם חלק מן הצד הזה שלו לזכות אנגליותו. בחברות דינמיות שבהן שום דבר לא קבוע, ארצות הברית למשל, או ישראל, הצלחה היא דבר שצריך לתת לו ביטוי חיצוני. מי שיש לו תואר אבירות אנגלי, לעומת זאת, לא זקוק לביטוי פומבי. תואר כזה לא הולך לשום מקום, לא יורד בכביסה ולא יכול להתמוטט יחד עם הבורסה. הוא פשוט שם. אבל יש כאן גם, כך נדמה, אלמנט של אופי אישי. גם כשהוא מרצה פנרוז ממעט להישיר מבט לקהל ונדמה מהורהר, שקוע בבעיה שהוא מתאר.

פנרוז שישעשע את הקהל בהרצאת איינשטיין שלו בירושלים, כאשר הציע במקום החתול של שרדינגר את מה שהוא כינה "בת הים הקטנה של שרדינגר." שקף שצייר בעצמו, בטושים צבעוניים – "אישתי," הוא אמר "חשבה שאני משקיע הרבה יותר מדי זמן בציור הזה" – המחיש את הבעיה כך: חציה האנושי של בת הים הקטנה מצוי בעולם הרגיל, שמוכר לכולנו, זה שאין בו ריבוי מצבים וחתולים מתים חיים, זה שיש בו אוניות רב-תרניות שבציורם הושקע זמן רב מדי, וחופים, והרים, ובני אדם. זנב הדג שלה שקוע בים, בעולם אחר, קוונטי. אבל מה מחבר בין שני העולמות הוא שואל?
לא קפיצה שהתודעה אחראית לה, ולא התפצלות לריבוי יקומים, סבור פנרוז. ההשערות המשונות האלה הן בעיניו לא הסבר, אלא ביטוי של העדרו. לכן משהו יסודי בתורת הקוונטים טעון שינוי. מה טיבו של השינוי פנרוז לא יכול לומר, אבל הוא מציע נתיב שאפשר יהיה, אולי, ללכת בו. נתיב בלי חתולים מתים-חיים, בלי עולמות מקבילים, ובלי פלאים בלתי מוסברים. ההצעה של פנרוז – הוא לא לבד בעניין הזה – מבקשת לחבר בין קוונטים לגרביטציה באופן כזה: לחלקיקים יש מקומות רבים כל עוד הם מבודדים מספיק. הסיבה לכך היא שהמסה שלהם זעירה. גופים גדולים יותר יש להם מסה וכוח משיכה גדול יותר. כוח המשיכה של מסות גדולות יותר, מושך אותן "אל עצמן" באופן חזק יותר, וריבוי המצבים שלהם מתמוטט למצב בודד. יש כאן, אם כן, רציפות ולא תהום בין העולמות: התמוטטות ריבוי המצבים למצב אחד הוא עניין תלוי מסה, וככל שהמסה קטנה יותר לוקח לריבוי זמן רב יותר להתמוטט. במקרה של חלקיק מבודד זה יכול להיות מליוני שנים, במקרה של כדור בליארד זה שבריר קטן כל כך של שניה, שלעולם לא נוכל לתפוש כדור כזה בלי מקום מסויים. "מדידה" מאבדת את מסתוריותה: היא בפשטות מצב שבו חלקיק בעל מסה זעירה "מסתבך" עם גוף בעל מסה גדולה, ובמגע עם גוף כזה מתמוטט מיד הריבוי אל ממשות ספצפית.
וכאן אולי, פנרוז סבור, נמצא גם המפתח להבנת פעולתה של התודעה האנושית מכיוון אחר, בלתי צפוי. על פי השערתו של פנרוז ייתכן שצינוריות קטנות בתוך תאי עצב במוח מסוגלות לבודד חלקיק במצב קוונטי ולמנוע את קריסתו לזמן קצר, קצת יותר משניה, ובאמצעות תכונה אחרת של חלקיקים – קשר לא לוקלי ביניהם – לאפשר תהליכים קוגניטיביים שמעבר לנתיבי הנוירונים והחיבורים העיצביים.
בכל זה אין כדי לומר שהתודעה כפי שהיא מצטיירת מן ההשערה הזאת היא פחות דטרמיניסטית מרדוקציות פיזיקליסטיות פשוטות יותר. "יש להשערה הזאת," אומר פנרוז, עמדה בעניין אי-הניתנות לחישוב אבל לא בשאלת הרצון החופשי.
-אתה דוחה את הרעיון שיש איזה מסתורין בתהליך הקריסה מריבוי אפשרויות למצב אחד. ואם כך אז התודעה הקוונטית שאתה מתאר, היא לא פחות פיזיקליסטית, לא יותר מסוגלת להתעלות מעל דטרמיניזם פיזי, מזו של הוקינג.
"זה לא משהו שאני יכול באמת לענות עליו. להשערות האלה יש עמדה בעניין אי-הניתנות לחישוב של המחשבה, אבל לא בשאלות כמו קיומו של רצון חופשי."
-בפירוש שלך לתורת הקוונטים אתה מציע לסלק כל אלמנט של אקראי, של התערבות תודעה, וכולי. איפה בתוך שרשרת דטרמיניסטית לגמרי יהיה מקום לדבר כמו רצון חופשי?
"כל מה האני יכול לומר על תודעה במסגרת ההשערות האלה בינתיים פתוח, נייטרלי בשאלות כאלה. זה לא תיאור שלם, ויכול להיות שיתברר שיש כאן, או שיתברר שאין כאן, מקום למשהו כמו רצון חופשי."

אבל הרצון החופשי כן מטריד את פנרוז. את הרצאת איינשטיין סיים פנרוז במשהו על מוסר, רצון חופשי, ויכולת בחירה, המובלעים בכל דיון על מוסר. אין פשר לטוב ורע, אין פשר לאחריות ואשמה, הוא כתב בעצמו, אם אין דבר כזה בחירה. בסוף ההרצאה הוא הניח שקף מוסרי, אם אפשר לומר כך, על שקף שהוא השתמש בו להסביר אלמנטים של תורת היחסות הכללית: השקף, גם הוא מצוייר בטושים צבעוניים בכתב ידו, מראה גוף תלת ממדי מפרספקטיבות שונות כל כך שקשה לזהות שמדובר באותו גוף. השקף המוסרי היה רק תוספת קטנה: איש קטן יושב מתחת עץ תמר באחד מן הקצוות של הגוף הזה. יכולנו לראות איך נראה החפץ מנקודת מבטו של האיש הקטן, ויכולנו לראות איך האיש הקטן והחפץ נראים בנקודת מבטנו. אם היה מדובר במרצה אמריקאי היה קל לנחש לאן כל זה מוליך. זה מוסר השכל שהאמריקאים יודעים להדביק לכל דבר: העולם נראה אחרת מפרספקטיבות שונות. אין מבט אובייקטיבי, יש רק פרספקטיבות. אם נלמד את זה, נלמד לכבד את כל הפרספקטיבות. הבעיה עם המוסר האמריקאי הזה היא שאמריקאים מאמינים שהם עצמם מייצגים את ריבוי הפרספקטיבות. לכן מי שמסרב לראות ריבוי – איסלאם רדיקלי למשל – יש לו פרספקטיבה טובה כמו כל פרספקטיבה אחרת, אבל בעצם לא טובה בכלל.
פנרוז הוא לא אמריקאי. בעיניו יש דבר כזה אובייקטיבי. מה שאנחנו יכולים ללמוד מתורת היחסות היא שכל הפרספקטיבות צופות בסופו של דבר אל אותו עולם אובייקטיבי עצמו. אם נלמד את זה, נלמד אולי להעדיף את המשותף לכולנו על פני המפריד. זה מתאים גם להלך רוחו המתון של פנרוז, גם למזגו המוסרי, גם להשקפתו על קוונטים. המשותף רב על המפריד. ואולי במובן מסויים בגלל זה, קורס הריבוי הקוונטי אל האחדות: המפריד והמפצל הוא מצב לא יציב. דברים, וגם אנשים, נועדו איכשהו להיות ביחד, לא לחיות כל אחד בעולמו הסובייקטיבי.

נתיב בלתי צפוי אחר, שהתחיל בשאלת הריצוף עבר, כעבור זמן רב, דרך השירותים. פנרוז ואישתו עברו דירה, וגילו שדגם בעיית הריצוף-בשתי-צורות של פנרוז מופיע על נייר הטואלט שהדיירים הקודמים השאירו שם. כלומר אישתו גילתה. "אני עצמי זקוק למשקפיים כדי לראות דברים כאלה," הוא מסביר.
כאן הסתבכו המתמטיקה והחוק. נציגו של פנרוז, מי שעומד בראש חברה המייצרת פאזלים מדגמים שלו, הביע זעזוע בלשון בריטית זו:
"אנחנו שומעים לעתים קרובות על כך שחברות ענק הדורסות עסקים קטנים ואנשים פרטיים. אבל כאשר מגיעים הדברים לידי כך שאוכלוסיית בריטניה הגדולה מוזמנת על-ידי חברה רב-לאומית לנגב את אחוריה על מה שנראה כמו עבודה של אביר של הממלכה, ללא רשות, מוכרחים לנקוט עמדה אחרונה."
ייתכן שכולנו נשקע בניוון וניהילזם. ייתכן שהיקום יתפזר וימוג אל הכאוס, או לחלופין ייקרוס אל תוך חור שחור. אבל הבריטים, כך נדמה לפעמים, ישרדו אפילו את כל זה.
אלא שבמקרה המסויים הזה התברר בהדרגה שיש כמה קשיים בנקיטת עמדה אחרונה. במיוחד יש קושי להעמיד את שאלת זכויות היוצרים על דיוקה. הדברים נוגעים לעמדתו הפילוסופית של סר רוג'ר: בעיניו המתמטיקה היא נכס המשתייך לכל בני האדם במידה שווה. יש לדעתו עולם אפלטוני של הפשטות, משהו שמעבר לעולם החומרי, עולם של רעיונות מתמטיים, שהעולם הממשי קשור אליו בקשרים שאת טבעם עדיין איננו מבינים. מאחר שכך, לאיש אין זכויות בלעדיות על רעיונות מתמטיים, שמעמדם נמצא איפשהו בינינו לבין הטבע. ומכאן שאי-אפשר לטעון לזכויות יוצרים עליהם.
אבל אפשר, לעומת זאת, לטעון לזכויות יוצרים על הציור המסויים שפנרוז צייר, ושאותו העתיקה חברת קלינקס אל נייר הטואלט. זו אבחנה מקובלת בדיני זכויות יוצרים: אין זכויות על רעיון, רק על מימושו. אלא שגם כאן יש בעיה, מפני שפנרוז הצליח להוכיח מתמטית שצורת הריצוף שלו יכולה להתמשך לאינסוף מבלי לחזור על עצמה, ואם, בהעדר תבנית, היא לא חוזרת על עצמה לעולם, לא בשרטוטים שלו, ולא בנייר הטואלט, אז לא ברור על מה בדיוק חלות זכויות היוצרים. למרבה המזל הגיעו נציגי פנרוז ונציגי קלינקס להסכמה מחוץ לבית המשפט – הסכמה שבמסגרתה אסור לו לחשוף את פרטי ההסכמה עצמה – וכך חסכו מבית המשפט את הסיבוך שבניסיון לקבוע מסמרות משפטיים על גבי מישור מתמטי מופשט וחמקמק שאין בו קביעות ותבנית. פרשת נייר הטואלט נגמרה כאן. פרשת ההכרה לא. היא קיבלה תפנית מפתיעה במפגש עם השקפותיו של פנרוז על תהליכים קוונטיים.